MECÁNICA PARA GENTE COOL

1.  La mecánica teórica: sus divisiones. La estática: concepto y sus divisiones

La mecánica es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. Modernamente la mecánica incluye la evolución de sistemas físicos más generales que los cuerpos másicos. En ese enfoque la mecánica estudia también las ecuaciones de evolución temporal de sistemas físicos como los campos electromagnéticos o los sistemas cuánticos donde propiamente no es correcto hablar de cuerpos físicos.

1Mecánica clásica

1.1Mecánica de medios continuos

1.2Mecánica estadística

2Mecánica relativista

3Mecánica cuántica

4Mecánica cuántica relativista

Relación de la estática con otras asignaturas de la ingeniería. Relación con los objetivos de la misma.

La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos.

Kendall y Buckland (citados por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra.

•División de la Estadística

• La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial.

• Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales.

• Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada.

Conceptos de la estática: punto material o partícula, cuerpo rígido.

Para entender la estática del punto material, primeramente precisamos saber de qué se trata. Se define como punto material a un objeto cuyas dimensiones no son importantes en el estudio del movimiento. Note que esa definición no está afirmando que para ser un punto material un objeto deba ser obligatoriamente pequeño.

Estática del Punto Material

Ahora que ya sabemos que es un punto material, debemos pensar en lo que sería necesario para que un objeto con estas características pueda ser mantenido en equilibrio estático. La respuesta se vuelve bastante simple, porque basta con que las fuerzas actuantes sobre él se cancelen, esto es, que la fuerza resultante sea igual a cero.

Concepto de fuerza. Sistema de unidades

Es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento line entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se habla de interacción).Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales.

Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Fuerza	SÍMBOLO	EQUIVALENCIA
kilogramo fuerza	kgf	9,806 65 N
gramo fuerza	gf	9,806 65.10-3 N
tonelada fuerza	tf	9 506,65 N
dina	dyn	1.10-5 N
libra fuerza	1bf	4,448 22 N
sthene	sn	1 000 N
poundal	pdl	0,135 255 N
onza fuerza	ozf	0,278 014 N

2.  Sistemas de fuerzas concurrentes en el plano. Equilibrio de una partícula.

Se conoce como sistema de fuerzas concurrentes a las fuerzas cuyas líneas de acción se intersecan en un punto. Si se trasladan todas las fuerzas del sistema dado por sus líneas de acción al punto común de intersección de estas líneas, el punto O, entonces, según el principio de la transmisibilidad, la acción del sistema sobre un cuerpo rígido no cambiará. Por lo tanto, cualquier sistema de fuerzas concurrentes puede ser sustituido por un sistema de fuerzas equivalente aplicadas a un mismo punto. Son coplanares cuando se encuentran en un mismo plano.

3. Sistema de fuerzas paralelas y de pares en el plano.

Vectores para F1, R y F2.

La figura de arriba muestra los vectores que grafican un sistema de fuerzas paralelas aplicadas en un mismo sentido.

La resultante ( R ) de dos fuerzas paralelas ( F1 y F2 ) que actúan en el mismo sentido tiene las siguientes características:

- tiene igual dirección y sentido que sus componentes

- su módulo es la suma de sus módulos: R = F1 + F2

- su punto de aplicación cumple la relación: F1 • d1 = F2 • d2

Ejemplo:

Dos fuerzas paralelas que actúan en el mismo sentido, F1 = 12N y F2 = 9N , están separadas por una distancia de 14 cm.

Calcular la fuerza resultante y su punto de aplicación.

Solución:

1) La intensidad de la resultante (R) es la suma de las intensidades de las componentes:

Entonces: R = F1 + F2  =  12N + 9N  =  21N en el mismo sentido que las componentes

2) El punto de aplicación debe cumplir la ecuación: F1 • d1 = F2 • d2.  (1)

Los dos brazos deben cumplir la ecuación: d1 + d2  = 14cm , por tanto d2 =  14 – d1.

Sistema de fuerzas pares en el plano

Son dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud y dirección, sentidos contrarios y separados por una distancia perpendicular “d” (figura 1). Figura 1. Par de fuerzas [1]. La suma vectorial de un par de fuerzas es nula, y el efecto que producen es un momento puro (tendencia a la rotación en una dirección especificada) sobre el sistema donde se aplica. El momento producido por un par es equivalente al momento de cada una de sus fuerzas con respecto a cualquier punto arbitrario del espacio. Demostración: Sea un objeto cualquiera sujeto al par de fuerzas conformado por "𝑭̅" y " − 𝑭̅", se desea calcular el momento que producen con respecto al punto “O” (punto cualquiera del espacio).

Par de fuerzas aplicado sobre un cuerpo cualquiera. Se conocen tres puntos, dos sobre las líneas de soporte de las fuerzas y un punto.

  4. Sistema general de fuerzas coplanares. Equilibrio de un cuerpo rígido.

Fuerzas Coplanares. Son fuerzas que actúan en el mismo plano y, por lo mismo pueden identificarse completamente con sus coordenadas.

Un sistema de fuerzas coplanares paralelas, es aquel donde las fuerzas se encuentra en un mismo plano y sus líneas de acción son paralelas entre sí. Éste es un caso especial de un sistema de fuerzas coplanares no concurrentes

Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia. de las no coplanares que se encuentran en mas de un plano, es decir en 3 ejes

Los vectores no coplanares son aquellos que no comparten el mismo plano. Dos vectores libres y un punto definen un único plano.

   5. Cinemática de la Partícula

Es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas). La cinemática de la partícula es la parte de la cinemática que estudia el movimiento de un punto lo que implica determinar su posición en el espacio en función del tiempo; para ello necesitaremos establecer un sistema de referencia. En la cinemática de la partícula se definen y utilizan magnitudes tales como la velocidad y la aceleración, fundamentalmente.

La cinemática diferencia dos tipos de móviles: la partícula (de las que se ocupa la cinemática de la partícula) y el sólido rígido, susceptible de rotar sobre sí mismo, del que se ocupa la cinemática del sólido rígido.

En la cinemática de una partícula, como caso general, hay dos enfoques: partiendo de la trayectoria determinar la posición, la velocidad y la aceleración basándose en el concepto matemático de derivada, y como segundo caso, fijando la aceleración determinar la velocidad y la posición de la partícula, todos los demás casos son casos intermedios entre estos dos casos.

     

6. Movimiento de Traslación y de Rotación de un cuerpo Rígido alrededor de un eje fijo.

Un cuerpo rígido puede tener dos movimientos simultáneos uno de traslación y otro de rotación, es decir, el movimiento más general de un cuerpo rígido, se puede considerar como una combinación de traslación y rotación.

Lo anterior, permite encontrar un sistema de referencia en traslación, pero no rotante, respecto al cual el movimiento parezca solamente de rotación.

Como se observa en la figura, el movimiento del cuerpo al pasar de la posición (1) a la posición (2), se puede considerar como una traslación del centro de masa y una rotación alrededor de un eje que pasa a través del centro de masa. Este movimiento combinado, genera diferentes desplazamientos a las diferentes partículas que conforman el cuerpo rígido. Así, el desplazamiento del centro de masa es diferente al desplazamiento de la partícula A y en general se presenta esta situación para todas las partículas del cuerpo.

El movimiento rotativo consiste en la rotación alrededor de un eje fijo (o sobre un eje fijo de revolución), y es un caso especial de movimiento de rotación. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de que un eje cambie su orientación, y no puede describir fenómenos como la nutación o la precesión. Según el teorema de rotación de Euler, la rotación simultánea en varios ejes estacionarios al mismo tiempo es imposible. Si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, aparecerá un nuevo eje de rotación.

Este artículo asume que la rotación también es estable, de modo que no se requiere ningún par de fuerzas para que continúe. La cinemática y la dinámica de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simples que las de la rotación libre de un sólido rígido; son completamente análogas a las del movimiento rectilíneo en una única dirección fija, lo que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido. Las expresiones para la energía cinética del objeto, y para las fuerzas aplicadas en las distintas partes del objeto, también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo que para el movimiento de rotación general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo se enseña habitualmente en cursos introductorios de física después de que los estudiantes dominen el movimiento rectilíneo. La totalidad del movimiento de rotación generalmente no se enseña en las clases introductorias de física.

Traslación: las posiciones de todas las partículas del cuerpo se desplazan una misma cantidad.

Rotación: el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo.

7. Dinámica de la Partícula

 Entre el movimiento de un cuerpo y las causas que lo producen. De nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento es el resultado de la interacción entre partículas. Las interacciones se expresan cuantitativamente en términos de fuerzas. En este primer capítulo de la Dinámica discutiremos los principios de la Mecánica Clásica, las leyes enunciadas por Isaac Newton.

Esta es otra lección conocida por los estudiantes, pero como en el caso de la Cinemática, no han adquirido un método sistemático de plantear los problemas de Dinámica en las más variadas situaciones, a esto hay que añadir ciertas preconcepciones acerca de la relación entre fuerza y el movimiento investigadas por numerosos autores, algunos de los cuales se citan más adelante.

Las preconcepciones que tienen los estudiantes cuando inician el estudio de la Dinámica persisten largo tiempo después, las dificultades están enraizadas y tienen su lógica interna, que se denomina punto de vista aristotélico.

Para remediarlo, es necesario proporcionarles gran cantidad de experiencias en forma de problemas, para que puedan confrontar sus propias ideas, encontrar contradicciones y descartar sus preconcepciones. Este proceso requiere tiempo y volver a revisar los conceptos en otros contextos.

Principios de la Mecánica Clásica

Existe diversidad de presentaciones de las leyes de Newton. Muchos textos empiezan con "fuerza" como si fuera una primitiva, completamente comprendida cualitativamente y cuantitativamente, y que no requiere una definición operacional explícita. Después, definen masa como una constante de proporcionalidad entre fuerza y aceleración.

La explicación de las leyes de Newton toma como principio básico la conservación del momento lineal de un sistema aislado formado por dos partículas interactuantes para llegar a la definición de fuerza:

El movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos que le rodean.

Una partícula libre se mueve con velocidad constante, es decir, sin aceleración.

La masa inercial de una partícula es una propiedad que determina cómo cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.

Una partícula libre siempre se mueve con momento lineal constante.

El momento lineal total de un sistema compuesto de dos partículas que están sujetas solamente a su interacción mutua permanece constante (principio de conservación del momento lineal).

La tasa de cambio de momento lineal de una partícula con respecto al tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre la partícula.

Cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre la primera ejercida por la segunda,  es igual y opuesta a la fuerza sobre la segunda ejercida por la primera.

Arons (1990) propone la siguiente introducción a las leyes de Newton que se puede complementar con la anterior y que está fundamentada en experiencias imaginadas.

Figura 1. Un medidor de fuerza

Supongamos una superficie sin fricción. El bloque B produce una aceleración sobre el bloque A, tanto mayor cuanto lo sea la inclinación del plano sobre el que desliza B.

Cuando el bloque A alcance una aceleración de 1 m/s2 pondremos una marca en el dinamómetro, cuando la aceleración A sea 2 m/s2 pondremos otra marca, y así sucesivamente. Si la masa de A se denomina 1 kilogramo a las unidades marcadas sobre el medidor de fuerza les daremos el nombre de newtons.

Si ahora cambiamos el cuerpo A por otro cuerpo D, observamos, por ejemplo, que cuando el dinamómetro marca 3 N la aceleración de D es 1.5 m/s2, cuando marca 4 N la aceleración de D es 2 m/s2 y así, sucesivamente.

Podemos experimentar con más cuerpos y llevar los resultados a la gráfica de la Figura 2, en el eje vertical la fuerza y en el eje horizontal la aceleración, obtendremos líneas rectas. El hecho de que la fuerza es proporcional a la aceleración cuando diferentes fuerzas se aplican a un cuerpo, nos dice que existen un único número, una propiedad del cuerpo, que es la constante de proporcionalidad, y que le damos el nombre de masa (inercial). El hecho de que exista un único número para cada cuerpo no es una definición, ni se deduce de otros principios, es un hecho experimental.

Figura 2. Definición de masa

Interacciones y fuerzas

Debe de quedar claro que toda fuerza describe una interacción. Para ello, es necesario superar varias resistencias:

Las preconcepciones de los estudiantes que tienden a identificar fuerza con velocidad. Las más observadas son las siguientes:

Sea un cuerpo que tiene una velocidad inicial en la base de un plano inclinado y desliza a lo largo del mismo hasta que se para. Muchos dibujan un vector fuerza en el sentido de la velocidad.

Supongamos un cuerpo que desliza a lo largo de un plano con rozamiento, bajo la acción de una fuerza que se aplica durante determinado tiempo. Se pide calcular el desplazamiento total del cuerpo. Muchos estudiantes resuelven mal el problema, por que tienden a parar el cuerpo justamente en el momento en el que se deja de aplicar la fuerza.

Algunos estudiantes tienen dificultad de identificar el cuerpo sobre el que se han de dibujar las fuerzas.

Otros, tienen dificultades en trasladar la acción de los bloques P y Q sobre el bloque A, tal como se ve en la Figura 3.

Figura 3. Dibujar las fuerzas que se ejercen sobre el bloque A

La tercera ley de Newton, véase la Figura 4,  produce muchas equivocaciones

Figura 4. La tercera ley de Newton

Es difícil aceptar que, si el bloque se mueve, ambas fuerzas la que hace el estudiante sobre el bloque y la que hace el bloque sobre el estudiante puedan ser iguales. Si el bloque, que estaba en reposo, se empieza a mover, el estudiante habrá tenido que hacer sobre él una fuerza mayor que la que ejerce éste sobre el estudiante.

Del mismo modo, se acepta que la Tierra ejerza una fuerza sobre un objeto, pero les es difícil aceptar que el objeto ejerza una fuerza igual y de sentido contrario sobre la Tierra.

Otras dificultades provienen de la confusión que tienen algunos respecto del método de resolver los problemas. Ponen fuerzas de inercia actuando sobre un cuerpo cuando se describe su movimiento desde el sistema de referencia inercial.

Fuerzas de rozamiento

Se debe reconocer que las fuerzas de rozamiento describen la suma de multitud de interacciones elementales de átomos y moléculas situadas en las superficies en contacto.

La fuerza de rozamiento empieza en cero y se incrementa a medida que lo hace la fuerza que se aplica sobre el objeto hasta que se "rompe" y comienza el deslizamiento. Se usa la palabra "rompe" como una analogía con una cuerda que se rompe cuando se incrementa la tensión por encima de un cierto valor crítico.

Los estudiantes tienden, erróneamente, a usar la fórmula Fr=μN cada vez que se presenta una fuerza de rozamiento por deslizamiento.

Se observa que asocian de forma inmediata la reacción del plano con la componente del peso en la dirección perpendicular al mismo. Para corregir este defecto, se deberá proponer una situación que contradiga esta suposición, por ejemplo, cuando tiramos de un bloque con una cuerda en una dirección que no sea paralela al plano, véase la Figura 5.

Figura 5. La fuerza que ejerce el plano inclinado y la componente del peso.

Las fuerzas de rozamiento presentan dificultades a los estudiantes sobre todo en el caso estático, que se pone de manifiesto cuando se estudia la dinámica de una caja sobre la plataforma de un camión que acelera, véase la Figura 6. Se proporciona los datos de la masa y de los coeficientes estático y dinámico de rozamiento, y se le pide calcular la fuerza de rozamiento y la aceleración de la caja cuando se dan tres valores de la aceleración del camión en las siguientes situaciones:

Cuando la caja está en reposo sobre la plataforma.

Cuando la caja va a empezar a deslizar sobre la plataforma.

Cuando se mueve sobre la plataforma. En este caso, se pide también la aceleración relativa de la caja desde el punto de vista del conductor del camión.

La principal dificultad del problema radica en poner adecuadamente la fuerza de rozamiento sobre la caja e indicar si tiene o no aceleración, ya que tienden a ponerse en el lugar de los observadores acelerados. Al estar el bloque en reposo sobre la plataforma piensan que su aceleración es nula.

Al plantear el tercer caso, el cálculo de la aceleración de la caja respecto del camión, aceptan que la caja se mueva hacia atrás respecto del camión, sin embargo, les sorprende que se mueva hacia adelante respecto de Tierra.

Figura 6. Dinámica de una caja sobre la plataforma de un camión.

Dinámica del movimiento rectilíneo

Para resolver un problema de dinámica se recomienda a los estudiantes seguir un procedimiento consistente en el uso de diagramas extendidos de fuerzas que proporcionan una imagen visual de las ecuaciones de la dinámica. En dichos diagramas, las fuerzas y las aceleraciones se representan por flechas, pero no se debe confundir una aceleración con una fuerza. La aceleración se debe poner separada de las fuerzas, o identificada por una flecha de distinto color o de distinta forma.

Sería conveniente que cada fuerza fuese descrita en palabras junto con el diagrama. Una descripción verbal indica la naturaleza de la fuerza y enuncia qué objeto ejerce una fuerza sobre cual otro. Por ejemplo, la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre el bloque de la izquierda, la fuerza de contacto ejercida por el plano inclinado sobre dicho bloque, la fuerza de rozamiento ejercida por el plano inclinado sobre el bloque, etc.

Dinámica del movimiento circular uniforme

La creencia de que un satélite artificial está sometido además de la atracción gravitatoria terrestre a una fuerza centrífuga produciéndose un equilibrio entre ambas puede entenderse como otra implicación entre la asociación que muchos estudiantes establecen entre fuerza y movimiento, y más concretamente de la idea de que los cuerpos se mueven siempre en la dirección de la fuerza que actúa sobre ellos: si el satélite no se precipita hacia la Tierra es porque otra fuerza compensa a la gravitatoria.

Así pues, una gran parte de los estudiantes describen la dinámica de la partícula desde el punto de vista del observador no inercial, poniendo en primer lugar la fuerza centrífuga, y no les convence mucho la descripción desde el punto de vista inercial cuando se les enseña, a pesar de que se les pregunte qué interacción produce dicha fuerza. Esto nos convence de la necesidad de que el estudiante identifique las interacciones y las describa en términos de las correspondientes fuerzas, objetivo básico de este capítulo.

La dinámica del movimiento circular presenta, en general, más dificultades que la del movimiento rectilíneo y debe ser analizada en las más variadas situaciones:

Sea un objeto que describe una trayectoria circular en el plano vertical atado a una cuerda. Se pide calcular la tensión cuando el objeto se encuentra en la parte más alta y más baja de la trayectoria. En este ejemplo, se observa que algunos estudiantes ponen una fuerza adicional en el sentido de la velocidad, tangente a la trayectoria.

Un problema similar, es el de un bloque que describe un rizo como los existentes en las ferias. Si se pregunta, cuál es la velocidad mínima que tiene que tener el objeto en la parte superior para que describa la trayectoria circular. Para sorpresa de muchos se demuestra que no es cero.

Encontrar la velocidad máxima que puede llevar un automóvil para que describa una curva de determinado radio con seguridad es otro de los contextos en los que se puede analizar el papel de la fuerza de rozamiento. Cuando la curva tiene peralte, existe cierta dificultad en identificar el centro de la trayectoria circular y por tanto, la dirección de la aceleración centrípeta. Otros dudan sobre el sentido de la fuerza de rozamiento, porque no son capaces de separar el movimiento en la dirección tangencial del movimiento en la dirección radial.

8. Teoremas generales de la Dinámica de la partícula y del cuerpo rígido.

8.1. Teorema de D’alembert para una Partícula y para un Sistema.

El principio de d'Alembert, enunciado por Jean d'Alembert en su obra maestra Tratado de la dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.

8.2. Vector Principal y Momento Principal de las Fuerzas de Inercia.

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

8.2.1. Movimiento de traslación.

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

8.2.2. Movimiento plano.

Introducción. En mecánica, el movimiento plano de un sistema de partículas es aquél en que las velocidades de las diferentes partículas están en todo momento contenidas en planos paralelos (denominnados planos directores) constantes para cada partícula.

8.2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas del cuerpo.

La rotación alrededor de un eje fijo o alrededor de un eje fijo de revolución o movimiento con respecto a un eje fijo de rotación es un caso especial de movimiento rotacional. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de que un eje cambie su orientación, y no puede describir fenómenos como tambaleo o precesión.